数学与艺术

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第八讲  数学与艺术

8-1  建筑设计

在古代埃及和巴比伦，新庙址的测量乃是按严格的几何和天文方法进行的，而且是法老和僧侣阶级的特权。因此宗教以及官方建筑都呈现规则的几何形状，而世俗的建筑常常被有意地设计成倾斜的和不规则的。在埃及，几何仪器和基本的几何图形，如犹太人的大卫星形，被看作是神圣的符号而被用作护身符。

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古埃及Ramses II（1388-1322BC）与测量女神Seschat用木桩标出新庙址
古埃及墓中的几何仪器形状的护身符

说到古埃及建筑，我们不能不提及金字塔。关于约建成于公元前2575年的吉萨胡夫金字塔，人们至少提出过九种理论对其形状进行解释，其中至少有四种与实测结果相符。1855年，德国学者洛贝（F. Röber）最先提出：金字塔的建筑中使用了黄金数[attach]162[/attach]。洛贝发现，胡夫金字塔侧面与底面的夹角（51º50¢）的余割恰好等于黄金数！

古希腊毕达哥拉斯学派发现，音的和谐与弦长的整数比有密切关系：1 : 2、2 : 3和3 : 4分别对应八度、五度和四度音程。有理由相信，这一发现，连同该学派 “万物皆数”的信条对于古希腊的建筑产生过深远的影响。让我们来看著名的雅典卫城帕提农神殿的尺寸。神殿台基的长（东西向）为69.5米，宽（南北向）为30.9米；圆柱的底径为1.9米，高为10.44米；圆柱中心轴距离为4.29米。不难发现：台基的宽和长之比、圆柱底径与中心轴间距之比、水平檐口高（柱高加上檐部高3.29米）与台基宽之比均为4: 9！

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雅典卫城

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帕提农神殿

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帕提农神殿平面图

自古希腊以来，规则的几何图形一直都被用来表达美与和谐。希腊语中，“对称”这个术语原来指的就是从一个建筑、一座雕塑或一幅绘画的最小部分到整体的形状和比例的重复。

在欧洲中世纪，教堂和修道院的建筑都必须符合一定的规则。在这些建筑的设计中，正多边形（尤其是等边三角形、正方形、正六边形和正八边形）占据着统治地位，而修道院的世俗部分则建成倾斜的形状。在Assisi的圣佛朗西斯低教会教堂内由Giotto di Bondone和他弟子所作的一副画显示了分别代表顺从（Obedientia）、谦卑（Humilitas）和智慧（Prudentia）三种德行的人物，人物头上带着正方形和正六边形的光环。在中世纪建筑的几何规则里往往包含象征意义，具有神秘主义色彩。

在古典希腊时期和古罗马时期，建筑师必须同时也是数学家。查士丁尼大帝统治时期（527-565）建成的拜占庭帝国最辉煌的建筑、首都君士坦丁堡的圣索菲亚大教堂即是有两位小亚细亚数学家伊西多鲁洛斯（Isidoros）和安泰缪斯（Anthemius）负责设计的。当时的拜占庭历史学家普洛可比乌斯（Procopieus, 约490～562）这样描述该教堂：

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“ 人们觉得自己好像来到了一个可爱的百花盛开的芳草地，可以欣赏到紫色的花、绿色的花；有些是艳红的，有些闪着白光。大自然像画家一样把其余的染成斑驳的色彩。一个人到这里来祈祷的时候，立即会相信：并非人力、并非艺术，而是只有上帝的恩泽才能使教堂成为这样，他的心飞向上帝，飘飘荡荡，觉得离上帝不远……”

人走进教堂的这种异乎寻常的感受恰恰说明了数学与艺术的神奇力量！

13世纪，神圣罗马帝国皇帝弗雷德里克二世所建造的著名的山城即呈正八棱柱形，而外墙的每一个角上又分别建有一个正八棱柱。从空中拍摄的图形来看，过城堡内八边形的每一边的直线构成一个八角星，八角星的每一个顶点恰恰位于相应角上正八边形的中心；而角上正八边形的朝内的一的顶点正是城堡外八边形的一个顶点。外八边形、内八边形和角上八边形的边长之比为[attach]167[/attach]。如果在按同样的方法不断在每一个小八边形外作出八个更小的正八边形，并保留朝外的五个，那么最后所得的图形乃是一个漂亮的分形图案。

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南部意大利Apulia的Monte城堡

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分形图案

公元1世纪罗马建筑师维特鲁威（Vitruvius）在所著《建筑十书》（Ten Books on Architecture）中宣扬数学在艺术和建筑中的作用。这部著作对建筑理论和实践的影响一直延续到18世纪末。另一位著名的建筑师帕拉第奥（Palladio）于1570年写道：

“音调的纯粹比例乃是听着和谐，空间的纯粹比例乃是看着和谐。这样的和谐给予我们快乐的感觉；但是除了寻求事物原因者外，没有人知道为什么这样。”

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《建筑十书》中米兰大教堂立视图

16世纪著名建筑师Wentzel Jamnitzer发现，正多面体、半正多面体和星形多面体用于建筑设计很吸引人。他曾经总结了120种正多面体的漂亮图案。早在18世纪，建筑师Etienne-Louis Boullée就试图将规则几何形状用于建筑中，但直到1928年，才有一座球形建筑在德累斯顿诞生，可惜毁于二战。几何形状还被广泛用于桥梁建筑、屋顶和墙面上。分形几何诞生必会激发建筑师们新的灵感。

8-2  绘画与透视

据说公元前400 年左右古希腊哲学家德谟克里特（Democritus）最早研究了透视的法则（可能用于剧院舞台布景的设计，但没有文字记载）。透视的重要时代是欧洲文艺复兴时期，这个时期画家们试图使他们的画具有现实主义。据说，以设计佛罗伦萨大教堂圆顶而闻名的意大利建筑师和雕塑家布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi, 1377～1446）是第一个掌握作透视画精确方法的人。第一本论透视的著作是《论绘画》（della Pittura，拉丁文版1435年，意大利文1536年），作者是阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti）。书中，阿尔贝蒂介绍了布鲁内莱斯基的方法（但没有提到他的名字）。阿尔贝蒂认为，做一个合格的画家，首先要精通几何学；借助于数学，自然界将变得更加迷人。为了实现这个目的，他主张采用数学透视。

最重要的透视学家是15世纪意大利艺术家和数学家弗朗西斯卡（Piero della Francesca, 1415～1492）。在《透视绘画论》中，他开始利用透视法来绘画，在其后半生的20年间，他写了三篇论文，试图证明利用透视学和立体几何原理，现实世界就能够从数学秩序中推演出来。

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弗朗西斯卡

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达·芬奇

意大利艺术大师达·芬奇（Leonardo da Vinci, 1452～1519）对透视学作出了重要贡献。在《论绘画》（Treatise on Painting, 约1510）中，达·芬奇列出在他看来同样重要的三种透视方法：一是远距离物体尺寸的减小（与数学透视有关），一是颜色的变淡；一是轮廓的消失。他说：“欣赏我的作品的人，没有一个人不是数学家。”他认为，绘画的目的是再现自然，而绘画的价值是就在于精确的再现。甚至纯粹抽象的创造物，如果能在自然中存在，那么它也必定会出现。因此，绘画是一门科学，像所有其他科学一样，它是以数学为基础的，“任何人类的探究活动都不能称为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明来开辟自己的道路。”他还认为，“一个人如果怀疑数学的极端可靠性，就会陷入混乱，他永远不可能平息科学中的诡辩，只会导致空谈和毫无结果的争论。”达·芬奇藐视那些轻视理论而声称仅仅依靠实践也能进行艺术创造的人，认为正确的信念是“实践总是建立在正确的理论之上”。他将透视学看作是绘画的“舵轮与准绳”。

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达·芬奇：最后的晚餐（1494）

达·芬奇广泛研究了人体的各种比例。下面一张图画的是他对人体的详细研究，图中标明了黄金分割的应用。这是一张他为朋友、数学家帕西沃里的《神奇的比例》（1509）所作的图解。

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达·芬奇：人体的比例

实际上，15世纪和16世纪早期几乎所有的绘画大师，都试图将他们绘画中的数学原理与数学和谐、实用透视学的特殊性质和主要目的结合起来。Signorelli、Bramante、米开朗琪罗（Michelangelo, 1475～1564）、拉斐尔（Raphael, 1483～1520））以及其他许多艺术家都对数学有着浓厚的兴趣，而且力图将数学应用于艺术。

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拉斐尔：雅典学派

16世纪初，透视的思想开始传播到其他国家，先是法国（1505年Jean Pelerin出版第一部教材），然后是德国（丢勒等），接着是荷兰（斯蒂文和舒腾）和英国（泰勒）。

17-18世纪，透视画的实际使用达到了一个新的高度，特别是在绘画以及教堂、宫殿内部其他形式的装饰，在剧院的舞台布景中。耶稣会士强调透视的效果，一些耶稣会士撰写透视方面的书。但这个时代大部分艺术家亦喜欢机械和光学的方法。

1768年，法国数学家兰伯特（J. H. Lambert, 1728～1777）感叹，大部分艺术家试图避开需要透视的主题，他们不愿意去研究数学透视的法则，在作品中常常出错。只有到了19世纪初，艺术院和高等工程学校开始定期教画法几何课后，透视才成了几何学上的一个严肃主题。

8-3  作为数学家的丢勒

丢勒（Albrecht Dürer, 1471～1528）的生平参阅阅读文献8-1。 他在意大利旅行时曾学习数学和透视；1506年，他在威尼斯购买了欧几里得的《几何原本》，在波伦亚学习透视艺术（很可能是向帕西沃里学的）。回德国后，丢勒于1525年以德文出版《尺规测量艺术引论》，论述介绍线性几何、平面图形、立体图形的有关命题以及透视理论。他认为，创作一幅画时，应依据透视的数学原理进行构图。

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丢勒：《圣徒杰罗姆在书房》（雕版画, 1514）

丢勒是一位几何学家。他寻求将人体的形状归结为数学原理，这在他的数以百计的素描中得到证明。他的这些比例研究说明，他企图使用科学的方法来人体。

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丢勒的人体素描

丢勒还设计了三种椭圆作图仪器。图2所示齿轮仪器用于画螺线和摆线；图3所示仪器则用于画椭圆。

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丢勒的作图仪器

丢勒的《画家手稿》（The Painter’s Manual）（1538）中创造了许多德文数学术语，如称椭圆为Eierlinie（蛋形线），称双曲线为Gabellinie（叉形线）。他称抛物线为Brennlinie，指的抛物镜的燃烧性质。

文艺复兴时期的画家们用现实主义手法将三维空间表现在二维的画布上；他们的研究导致了射影几何学的复兴。下图是丢勒《引论》中的木刻画，说明他发明的用以将三维物体转化为二维画的仪器：一位画家坐在他的画布前，画布装在用铰链固定在桌面上一个垂直的框架上。桌上放置一把琵琶。他的助手将画布转到一边，并将线的自由端固定在琵琶的某个部位；画家顺着线观看。线经过框架上的某一点，画家用水平和垂直的两根线来固定它。然后松开直线，将画布转回框架中，画家在其上标出刚才固定好的那个点。再把画布转开，助手把直线移到琵琶的另一个部位，重复前面的程序。这样，画家渐渐获得了琵琶轮廓的精确透视图。

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丢勒《引论》中用机械方法作透视画

丢勒对数学的爱好可以从他的铜版画《犹豫》（Melencolia, 1514）中反映出来。除了中心透视的应用，墙上的幻方、复杂的多面体、球体，都象征着对于数学难题的长期思索无获而产生的犹豫情感。这是他所画过的最好的自画像。

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丢勒作品《犹豫》（Melencolia）（I）

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多面体

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幻  方

《犹豫》中的多面体的表面似乎由两个等边三角形和六个不规则的多边形构成。有人据此还猜想：丢勒不是根据模型，而是根据一个大的方解石晶体来画多面体的。还有人. 进一步认为，如果上述猜想是对的，那么晶体学历史应该向前推大约100年。

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丢勒构造的历史上第一个分形

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丢勒幻方

《犹豫》中的幻方有以下性质：

（1）每行、每列和每条对角线上的数字之和为34；
（2）关于两对角线交点对称的任意两数的和为17；
（3）每一象限（I、II、III、IV）的数字之和为34；
（4）I、III象限的上行数字之和相等，且等于II、IV象限的下行数字之和；I、III象限下行数字之和相等，且等于II、IV象限的上行数字之和。
（5）I、III象限的右列数字之和相等，且等于II、IV象限的左列数字之和；I、III象限左列数字之和相等，且等于II、IV象限的右列数字之和。

8-4  艾舍尔的数学画

倍受数学家们推崇的荷兰著名艺术家艾舍尔（M. C. Escher, 1898～1972）的生平可参阅阅读材料8-1。这里我们主要介绍他的平面镶嵌画。

8-4-1  平面图案镶嵌

平面的规则分割称作“镶嵌”，即将封闭平面图形互不重叠排列起来，完全覆盖平面而不留空隙。如铺在地板上的正方形地转。古希腊毕达哥拉斯学派已经发现：正多边形中只有三种能够镶嵌整个平面。如下图所示。

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平面的正三角形镶嵌

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平面的正方形镶嵌

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平面的正六边形镶嵌

但艾舍尔对各种镶嵌都十分着迷，不管是规则的还是不规则的。他还特别钟爱所谓的“变形”（metamorphoses）：图形变化，且相互作用。

前已提及，他对于镶嵌的兴趣始于1936年旅行西班牙的时候。他花三天时间描这些镶嵌画，后来他自己声称，这是他“曾经发掘过的最丰富的灵感的源泉”。1957年，他写了一篇关于填充画的文章，文中评论说：

在数学方面，人们已经从理论上考虑过平面的规则划分……这是否意味着它仅仅是一个数学问题呢？在我看来，不是的。数学已经打开了通往一片广阔领域的大门，但它还没有进入这一领域。它对于如何打开大门的方式，比门后面的花园更感兴趣。

艾舍尔在他的平面镶嵌画中开拓性地使用了一些基本的图案，并应用了反射、滑动反射、平移、旋转等数学方法，获得了更多的图案。他还将基本的图形进行变形，成为动物、鸟和别的图形。变化后的图形服从三重、四重、或六重对称。效果既惊人又美观。一位俄国数学家对他说：“你比我们任何一位都懂得更多。”

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艾舍尔镶嵌图案的构造

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爬虫的平面镶嵌（1939）

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鸟的规则平面镶嵌（木刻, 1949）

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天鹅的规则平面镶嵌

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骑马的人：平面的规则镶嵌

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昼与夜（木刻, 1938）

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天与水之一（1938）

在《爬虫》（Reptiles）中，状似蜥蜴的爬虫，爬出平面拼图，登上精装书，行过三角尺，跃上十二面体，胜利地朝天喷气，转上钢杯，“疲倦但满足地回到对称的平面世界里”（艾舍尔语）。艾舍尔在许多六边形镶嵌中使用这爬虫图案。

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爬 虫（版画, 1943）

8-4-2  正多面体

艾舍尔对于正多面体特别着迷，他的许多作品都以此为主题。我们知道，世界上只有五种正多面体——柏拉图立体：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。在木刻画《四种正多面体》中， 艾舍尔将四种正多面体画在一起，他们的对称轴是同一条直线；四种图形是半透明的，每一个图形都可以从别的图形中看出来。

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四个正多面体 （木刻，黑、黄、红三色，1961）

将正多面体的每一面代以一个棱锥体，即可将正多面体可以变成许多有趣的星形体。一个很漂亮的例子是艾舍尔的《秩序与混乱》（Order and Chaos）中的十二面星体。星体居于一个透明的球体之中，其冷峻的美与四周乱糟糟的零碎杂物形成了鲜明的对照。可以看出，观察者左上方明亮的窗户映在球体中。

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秩序与混乱 （版画, 1950）

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引 力（1952）

相交立体也见于艾舍尔的许多作品中，最有趣者之一是木雕版画《星星》（Stars）。画中有相交立体有正八面体、四面体和正方体等。艾舍尔在多面体中画了变色龙，打破了我们通常的舒适的感性习惯，促使人们以新的眼光来看他作品中的事物。这当然是数学家之所以推崇艾舍尔作品的又一原因——因为所有数学发现的背后正有着这样一种感性的新颖性。

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星星（木版画, 1948）

《双小行星》是由两座结构繁复的四面体相互交叉而组成。其中一座像个四角岩石山巅，上面怪莽野卉、猛兽异禽，象征着自然的造化。另一座则是人工的建筑，尖塔奇楼、玄梁妙壁，代表人类的工艺，整座双小行星的结构，杂乱与对称、蛮荒与文明交错鼎立，岩石的四面体尖顶又恰自工事四面体的城门突出，直堪称鬼斧神工。艾舍尔此画的设计，令人想起科幻小说中所谓的天体工程（astroengineering）；天体工程学幻想有朝一日，人类的科学技术能进步到可以改造太空中的星体，或建立配合星体的巨大工事，比如说：在太空轨道上建造环绕地球的环形城市，将小行星中心挖空再装上喷射推进引擎而成的太空船，朝黑洞倾倒垃圾藉以带动发电机的能源工厂，将数颗行星融合后重制成更硕大的人工球壳星等等。

艾舍尔完成《双小行星》时是1949年，当时他是否接触到正方兴未艾的科幻风潮，已不可考。但许多天体工程学的概念，如黑洞能源厂、小行星太空船等，都是1949年后的事。

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双小行星（木刻, 1949）

若将《双小行星》视为天体工程的设计，那艾舍尔可就是先驱者了！

《四面体小行星》与《双小行星》类似，但却是机关布景更复杂的精密建构。如果说《双小行星》是天体工程的设计，那么《四面体小行星》就是太空工程的产物。电影《星际大战》中，一再被绝地武士炸毁的帝国“死星”，就是颗硕大无朋的金属人工星球。太空工程与天体工程不同之处，在于太空工程并不涉及大规模改造自然星体，而是试图建立完全人造的工事，例如：月球基地、太空站、星舰、人造星球等。

与《双小行星》相同，《四面体小行星》也有个重力中心，四个面、六个边和四个尖角上的人与物都受向心的重力场牵引，不至受力方向错乱或飘浮太空。球形的大气层包著这颗小行星，四个尖角穿出大气层——依艾舍尔的解释，尖角上的空气仍足够上面的人呼吸。再细看其精细结构，可以发现每个面上建筑物所包围的环状岛附近，都有可供小舟划行的水道，水道四通八达，可通往小行星其他的面上。水道的设计犹若威尼斯，屋宇房舍也是传统意大利式，人们自在地泛舟于水道里，徜徉在城楼上，穿梭于拱桥间，享受著美丽小世界里的阳光、空气和水。这样的设计实在是最浪漫的古典式太空工艺。

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四面体小行星（木刻, 1954）

《扁虫》里的大眼睛扁虫，悠游于一处由四面体及八面体块构筑的空间里。这样的建筑并非常见的方形砖块所砌成，亦无水平的地板或垂直的墙，并不适合人类居住，却恰恰能让扁虫睁著水汪汪的大眼，自自在在地漫游其间。而这样的建构，若不视为扁虫的水族箱，纯就空间设计而言，也极具现代化的风味。整个由多面体作为单元的构造，亦像是科幻电影里太空站的内舱。艾舍尔的其他几幅关于多面体的画作，则是更具科幻意味的设计。

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扁虫（版画, 1959）

8-4-3   莫比乌斯带、结、螺线

艾舍尔对于拓扑学很感兴趣。拓扑学研究的是图形在变化的时候（不撕开）的不变性质，在艾舍尔生活的时代，正是拓扑学方兴未艾的时候。莫比乌斯带或许是最早的例子。对此艾舍尔创作了许多作品。莫比乌斯带只有一侧。

如果你沿着艾舍尔的《莫比乌斯带》（之二）（Möbius Strip II）上的蚂蚁所走的路线去走，你会发现：它们根本不是在带的相反的两侧走——它们都走在相同的一侧。

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莫比乌斯带（之一）（木刻、木版, 1961）

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骑马的人（木版, 1946）

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莫比乌斯带（之二）（木刻, 1963）

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天 鹅（木刻, 1956）

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结（木版，1965）

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结（1966）

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螺线（木版, 1953）

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有鱼的球面（木刻, 1958）

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球面螺线（木刻, 1958）

第八讲《数学与艺术》作业

8-1  证明弗雷德里克二世的城堡中，外八边形、内八边形和角上八边形的边长之比为[attach]213[/attach]。

8-2  介绍文艺复兴时期德国艺术家丢勒的数学工作。

8-3  仔细观察丢勒作品《犹豫》中的四阶幻方，列出它的性质。
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8-4  15世纪意大利著名艺术家佛朗西斯卡将平面上三角形海伦公式推广到三维空间：设四面体的六条棱的长度分别a，b，c，d，e，f，四面体的体积为V，则
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试作证明。

[ 本帖最后由 Yetao 于 2008-6-22 11:33 编辑 ]